________________
Masih soal olimpiade
Pada penjumlahan di gambar ini, setiap huruf yang berbeda mewakili digit unik yang berbeda juga. Jika S mewakili 6, dan E mewakili 8, berapa angka yang dilambangkan oleh SIX?, dimana SIX membentuk deret aritmatika.
A. 543
B. 654
C. 765
D. 876
Konsep terlampirrr
Angka yang dilambangkan oleh SIX adalah 654.
(opsi B - dengan catatan)
Pembahasan
Aritmatika Dasar dan Teori Bilangan
Dengan hanya melihat opsi jawaban saja, kita sudah bisa simpulkan bahwa angka yang dilambangkan dengan [tex]\verb|SIX|[/tex] adalah 654, karena [tex]\verb|S| = 6[/tex] dan [tex]\verb|(S, I, X)|[/tex] membentuk deret aritmatika. Opsi lainnya tidak memuat angka ratusan 6.
Akan tetapi, mari kita selesaikan secara lebih matematis.
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\tt S\ E\ V\ E\ N\\\tt S\ E\ V\ E\ N\\\tt S I X\\\underline{\qquad\qquad\quad}&\ +\\\tt T\ W\ E\ N\ T\ Y\\\end{aligned}$}[/tex]
dengan [tex]\verb|S| = 6[/tex], [tex]\verb|E| = 8[/tex], dan [tex]\verb|(S, I, X)|[/tex] membentuk deret aritmatika.
Maka:
[tex]\verb|I|=\verb|S|+b[/tex] dan [tex]\verb|X|=\verb|S|+2b[/tex], dengan [tex]b[/tex] menyatakan beda/selisih antarsuku.
Kita substitusi [tex]\verb|S|[/tex] dan [tex]\verb|E|[/tex] terlebih dahulu.
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ I\ X\\\underline{\qquad\qquad\quad}&\ +\\\tt T\ W\ 8\ N\ T\ Y\\\end{aligned}$}[/tex]
Perhatikan digit ribuan. Jika [tex]C[/tex] menyatakan "simpanan" penjumlahan (carry) dari digit ratusan, maka:
[tex]\begin{aligned}&(8+8+C)\!\mod10=8\,,\ 1 \le C \le 9\\&\rightsquigarrow(16+C)\!\mod10=8\\&\rightsquigarrow(16\!\mod10)+C=8\\&\rightsquigarrow6+C=8\\&\therefore\ C=\bf2\end{aligned}[/tex]
Jadi, "simpanan" penjumlahan dari digit ratusan adalah 2. Dan oleh karena itu, "simpanan" penjumlahan dari digit ribuan adalah hasil pembagian bilangan bulat [tex](2+8+8)\div10=1[/tex].
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\tt2\qquad\:\:\\\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ I\ X\\\underline{\qquad\qquad\quad}&\ +\\\tt T\ W\ 8\ N\ T\ Y\\\end{aligned}$}[/tex]
Kita sudah dapat mengetahui nilai digit [tex]\verb|W|[/tex] dan [tex]\verb|T|[/tex], yaitu [tex]\verb|W|=(1+6+6)\!\mod10=3[/tex], dan [tex]\verb|T|[/tex] sama dengan "simpanan" penjumlahannya, yaitu hasil pembagian bilangan bulat [tex](1+6+6)\div10=1[/tex].
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\tt1\ 2\qquad\:\:\\\tt6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ I\ X\\\underline{\qquad\qquad\quad}&\ +\\\tt1\ 3\ 8\ N\ 1\ Y\\\end{aligned}$}[/tex]
Pada digit ratusan:
[tex]\begin{array}{cccccc}&20 & \le & \verb|N| & \le & 29\\\rightsquigarrow&20 & \le & 2\verb|V|+6 & \le & 29\\\rightsquigarrow&14 & \le & 2\verb|V| & \le & 23\\\rightsquigarrow&7 & \le & \verb|V| & \le & \left\lfloor\frac{23}{2}\right\rfloor\\\rightsquigarrow&\bf7 & \le &\verb|V| & \le & \bf11\end{array}[/tex]
Karena [tex]\verb|V|[/tex] adalah bilangan satu digit, maka yang berlaku adalah [tex]{\bf7} \le \verb|V| \le {\bf9}[/tex].
Pada digit puluhan:
[tex]\begin{aligned}&(8+8+\verb|I|)\!\mod10=1\,,\ 0 \le \verb|N| \le 9\\\rightsquigarrow\ &(16+\verb|I|)\!\mod10=1\\\rightsquigarrow\ &16+\verb|I|=10k+1\,,\ k\in\mathbb{N}\end{aligned}[/tex]
Karena [tex]\verb|I|[/tex] bilangan satu digit, maka nilai [tex]k[/tex] yang memenuhi adalah [tex]k=2[/tex], karena jika [tex]k=1[/tex], maka [tex]\verb|I| < 0[/tex], dan jika [tex]k > 2[/tex], maka [tex]\verb|I| > 9[/tex]. Dengan [tex]k = 2[/tex], hasil penjumlahan pada bilangan puluhan adalah [tex]10k+1=21[/tex], sehingga terdapat bilangan "simpanan" untuk penjumlahan digit ratusan. Dan dengan [tex]k=2[/tex], maka [tex]\verb|I| = 5[/tex].
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\tt1\ 1\ 2\qquad\:\:\\\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt 6\ 8\ V\ 8\ N\\\tt6\ 5\ X\\\underline{\qquad\qquad\quad}&\ +\\\tt1\ 3\ 8\ N\ 1\ Y\\\end{aligned}$}[/tex]
Untuk mendapatkan nilai [tex]\verb|X|[/tex], kita tidak perlu menyelesaikan secara lengkap, karena dengan [tex](S, I, X)[/tex] membentuk deret aritmatika, kita tahu bahwa [tex]\verb|X| = 4[/tex].
KESIMPULAN
∴ Angka yang dilambangkan oleh SIX adalah 654.
__________________________
Penyelesaian Selanjutnya
Pada digit ratusan, setelah diketahui bahwa ada carry bernilai 2, maka:
[tex]\begin{array}{cccccccc}&(2+2\cdot7+6)& \le &N& \le &2+2\cdot9+6\\&\mod10&&&&\mod10\\\rightsquigarrow\ &2+14+6& \le &N& \le &2+18+6\\&\mod10&&&&\mod10\\\rightsquigarrow\ &22& \le &N& \le &26\\&\mod10&&&&\mod10\\\rightsquigarrow\ &\bf2& \le &N& \le &\bf6\\\end{array}[/tex]
Karena [tex]\verb|I| = 5[/tex], [tex]\verb|X| = 4[/tex], dan penjumlahan pada bilangan satuan tidak menghasilkan carry, maka [tex]2N+4[/tex] yang mungkin adalah 8, sehingga [tex]\verb|Y| = 8[/tex]dan [tex]\verb|N| = 2[/tex]. Namun, jika kita konsisten terhadap deskripsi persoalan, maka nilai Y tidak boleh sama dengan 8, karena 8 sudah diwakili oleh [tex]\verb|E|[/tex]. Sebaliknya, jika dua atau beberapa huruf dapat mewakili angka yang sama, maka penjumlahan bersusun tersebut secara lengkap adalah:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\tt1\ 1\ 2\ 2\quad\ \ \\\tt6\ 8\ 7\ 8\ 2\\\tt6\ 8\ 7\ 8\ 2\\\tt6\ 5\ 4\\\underline{\qquad\qquad\quad}&\ +\\\tt1\ 3\ 8\ 2\ 1\ 8\\\end{aligned}$}[/tex]
[answer.2.content]
